Cálculo por Arquímedes del volumen de la esfera

Publicado en September 22, 2017

Aparte de sus múltiples invenciones y de los importantes principios que desarrolló, como el de la flotación, o el procedimiento para determinar la densidad de un cuerpo, uno de los logros que más llegó a enorgullecer al sabio griego fue su descubrimiento del  primer método teórico que permitió calcular el volumen de una esfera si se conoce su radio. Se pueden apreciar en este método los elementos que hacen de Arquímedes el verdadero precursor del cálculo diferencial, que sólo surgiría cerca de 1900 años más tarde de la pluma de Newton y Leibnitz.  La sencillez del esquema es en sí de una estética muy griega, y al ser la joya que Arquímedes pidió lucir en su tumba, queremos presentarla aquí como primer homenaje en este sitio web.

No reproduciremos textualmente el cálculo hecho por Arquímedes, porque su lenguaje matemático y gráfico era muy diferente del nuestro, y porque se encuentra en otras fuentes [1], pero interpretaremos en términos actuales y con nuevos recursos su idea genial, que es transparente y atraviesa la barrera de los tiempos, las lenguas  y los medios audiovisuales.

Se utilizan como elementos auxiliares para el cálculo, un cilindro circunscrito a la esfera de radio R y un cono circular recto con radio R en la base y altura R, cuyo ángulo en el vértice resulta ser  90°.

Esfera, cilindro y cono

 

Supongamos que cada una de estas figuras es un recipiente para agua y que las hemos llenado exactamente hasta la misma altura, digamos \(h\).

Esfera, cono y cilindro: h

Queremos ahora agregar a cada recipiente  una cierta cantidad muy pequeña de agua, pero de tal manera que ésta suba en cada caso exactamente la misma distancia. Es como si agregáramos, al agua ya presente, una “lámina” muy delgada de agua, de espesor  \(d\).

\( r_{lámina esfera} = r_{es} \qquad r_{lámina cono} = r_{co} \qquad r_{lámina cilindro} = r_{ci} \)

 

El volumen (\(V\)) de agua de cada lámina es igual al área (\(A\)) del círculo que la define, multiplicada por su espesor (\(d\)). Aunque el radio del círculo para cada lámina (esfera, cono, cilindro) debe ser calculado por separado, y depende de la altura a la que se encuentre el agua, el espesor \(d\) es el mismo para los tres casos y se ha escogido tan pequeño como sea necesario para que el error cometido con  esta forma de calcular el volumen se pueda  hacer  tan pequeño como se desee.

En todos los  casos, entonces

$$ V_{lámina} = A_{lámina} \times d, $$

y como cada lámina es circular,

$$ A_{lámina} = \pi\big(r_{lámina}\big)^{2}, $$

o sea que

$$ V_{lámina} = \pi\big(r_{lámina}\big)^{2}\times d. $$

Vamos ahora a hacer algo de geometría para hallar cada radio.

Como ya dijimos, cada uno de los radios depende de la altura hasta donde llegó el agua.

  1. En el caso de la esfera, se dibuja como eje vertical su diámetro y desde este eje, a la altura \(h\)  medida desde el suelo, se establece el radio \( r_{es} \) de la lámina, construido perpendicular al primero. Desde el centro de la esfera se traza un radio R hacia el punto de la periferia donde \( r_{es} \) tiene su extremo.Circunferencia

    Se ha formado un triángulo rectángulo en el cual podemos aplicar el teorema de Pitágoras:

    $$ \big(r_{es}\big)^{2} = R^{2} - \big(R-h\big)^{2} $$

  2. En el caso del cono se traza la altura \(R\), que se toma como eje y desde allí, a una distancia \(h\) desde el suelo,  se construye una perpendicular hasta la superficie lateral del cono para obtener \(r_{co}\).

    Entre el eje del cono y la línea que está sobre la superficie lateral del mismo se han formado dos triángulos isóceles , rectángulos, semejantes, uno contenido en el otro, de manera que podemos escribir la igualdad de proporciones

    $$ \frac{r_{co}}{R} = \frac{R-h}{R}, $$

    de donde se obtiene de inmediato

    $$ r_{co} = R-h $$

  3. Finalmente, para el caso de cilindro, evidentemente el radio es el mismo en todas las alturas, así que \( r_{ci} = R \).

De los tres resultados para los radios de las láminas obtenemos la notable relación

$$ \big(r_{es}\big)^{2} = \big(r_{ci}\big)^{2} - \big(r_{co}\big)^{2}, $$

si multiplicamos por \(\pi\) cada término de esta ecuación, encontramos que  el área de la lámina de la esfera es igual a la diferencia entre la del cilindro y la del cono. Esta es la piedra angular del argumento de Arquímedes.

Ahora, como el espesor es  igual para ellas tres, la misma relación se presenta entre los volúmenes de las láminas.

Pero el volumen hasta cualquier altura es la acumulación de los volúmenes de las láminas, así que podemos concluir el  teorema que nos lleva a la solución del problema:

$$ Volumen_{esfera} = Volumen_{cilindro} - Volumen_{cono}. $$

Este teorema es cierto acumulando láminas hasta la altura que alcanza el cono, que es la mitad de la de las otras figuras (es decir, hasta la altura del centro de la esfera). Para extenderlo a toda la altura de la esfera y el cilindro, basta colocar a continuación otro cono idéntico al anterior, pero invertido sobre su vértice, y se obtiene

$$ Volumen_{esfera} = Volumen_{cilindro} - 2 \times Volumen_{cono} $$

Arquímedes conocía cómo calcular el volumen del cilindro (área de la base por altura)  y también el del cono (un tercio del área de la base por la altura), de tal manera que obtuvo:

$$ Volumen_{esfera} = 2\pi R^{3}-\frac{2}{3} \pi R^{3}, $$

es decir,

$$ Volumen_{esfera} = \frac{4}{3}\pi R^{3}. $$
Creemos que la fórmula del volumen del cilindro es evidente, y de hecho la hemos utilizado para calcular el volumen de cada lámina. El cálculo de la fórmula para el volumen del cono (sin exigir  cálculo integral como prerrequisito) lo mostraremos en las siguientes secciones por un método que imita el sistema de las láminas de Arquímedes.

Referencias


[1] Arquímedes, en: Hawking, S., comentador, Dios creó los números. Crítica, Barcelona, 2006.

Jaime Hernández Gutiérrez

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Etiquetas: demostración, esfera, volumen, arquímedes