Construcción de la espiral de Arquímedes

Publicado en March 13, 2018

Entre sus muchas ideas, unas útiles y otras armoniosas (y a la larga útiles también), Arquímedes se tropezó con la construcción de una espiral que la naturaleza esconde en el interior de muchos caracoles, la cual está basada en la sucesión de los números que hoy por razones históricas accidentales llamamos de Fibonacci. Esta espiral es de una simplicidad seductora, (cuya imagen puede verse  en el cabezote de nuestro blog) y su construcción  procede como sigue:

- Se dibuja un cuadrado de lado 1 unidad, y adyacente a él se dibuja otro igual.



- Debajo de estos dos (o encima) y en forma igualmente adyacente, se construye un cuadrado de lado \(1 + 1 = 2\)  unidades.



- A continuación, y siguiendo una pauta de ajuste del nuevo cuadrado a los que ya se han dibujado, se construye un cuadrado de lado \(1 + 2 = 3\) unidades.



- Procediendo en un orden que resulta ser de giro horario (el otro sentido también serviría, pero hemos escogido uno al azar; usted se puede inclinar por el otro), se agrega un cuadrado de lado \(2+3=5\) unidades, luego otro de \(3+5=8\) unidades, y así sucesivamente.



- Si ya se han dibujados suficientes cuadrados (los que la paciencia le dicte a cada quien) o de manera simultánea con los cuadrados, se procede como sigue: con centro en el punto A que es uno de los vértices que es común a los dos primeros cuadrados, y con radio \(r=1\), se dibuja un semicírculo que queda inscrito en ellos.


- Luego, desde el punto B que se encuentra (en nuestro caso) a la izquierda de A  y sobre el diámetro del semicírculo, se dibuja, como continuación del semicírculo anterior,  un cuadrante de círculo de radio \(r=1+1=2\) que queda inscrito en el cuadrado de lado 2.



- El punto C se escoge como el vértice del cuadrado de lado 3 opuesto al final del anterior cuarto de círculo y con centro en ese vértice se traza un cuadrante de círculo de radio \(r=1+2=3\).



- Se continúan los cuadrantes de círculo de respectivos radios \(5, 8, 13,\dots\), para los cuales se toma como centro el vértice que se encuentra opuesto al extremo  del cuadrante que se acaba de dibujar, en el  cuadrado que sigue a continuación del último dibujado.

Jaime Hernández Gutiérrez

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Etiquetas: construcción, espiral, espiral