Cálculo de \(f_n\)

Publicado en May 07, 2018

La fórmula de recurrencia (3) señalada en la entrada anterior permite calcular \(f_n\) con la condición de que se conozcan los dos términos anteriores en la sucesión. Existe una manera de calcular dicho valor de manera directa en función de los números \(n\) y \(\varphi\). Las demostraciones que hemos visto en la bibliografía (por ej., ver Graham 1990, pp. 283-285) nos han parecido muy extensas y llenas de trucos no siempre fáciles. Ofrecemos una que puede mejorar en este sentido, pues resulta elemental y directa.

Otra manera de escribir la ecuación (2) es

\[ \varphi^2 = \varphi + 1 \quad (6) \]

la cual nos permite encontrar las potencias enteras positivas de \(\varphi\)

\[ \varphi^3 = \varphi (\varphi + 1) =2\varphi + 1, \] \[ \varphi^4 = \varphi^2 + 2\varphi + 1 = 3\varphi + 2, \] \[ \varphi^5 = 3\varphi^2 + 2\varphi = 5\varphi + 3, \] \[ \varphi^6 = 5\varphi^2 + 3\varphi = 8\varphi + 5 \dots\]

donde se ha utilizado (6) repetidamente para rebajar las potencias superiores de \(\varphi\) en los resultados. Nuevamente aparecen los números de Fibonacci y podemos presumir una fórmula general

\[ \varphi^n = f_n\varphi + f_{n-1}, \quad (7) \]

la cual puede ser demostrada por inducción de una manera muy sencilla, pues

  1. para \(n = 2\), \(f_2\varphi + f_1 = \varphi + 1 = \varphi^2,\) como se requiere;
  2. se espera que si (7) es válida para algún valor de \(n\), entonces debe ser

\[ \varphi^{n+1} = f_{n+1}\varphi + f_n; \quad (7a);\]

según (7), obtenemos:

\[ \varphi^{n+1} = \varphi \varphi^n = f_n\varphi^2 + f_{n-1}\varphi \] \[ = f_n(\varphi + 1) + f_{n-1}\varphi \] \[ = \varphi(f_n + f_{n-1}) + f_n \] \[ f_{n+1}=\varphi + f_n, \]

como se quería demostrar.

Ahora, otra forma de escribir la ecuación (2) es

\[ \varphi^{-1} = \varphi - 1\quad(8) \]

y se pueden obtener, con la misma metodología anterior, por reiteradas aplicaciones de (8), las siguientes igualdades:

\[ \varphi^{-2} = 2 - \varphi \] \[ \varphi^{-3} = -(3 - 2\varphi), \] \[ \varphi^{-4} = 5 - 3\varphi, \] \[ \varphi^{-5} = -(8 - 5\varphi)\dots\]

de donde es presumible la fórmula general

\[ \varphi^{-n} = (-1)^n(f_{n+1} - f_n\varphi), \quad (9) \]

La cual puede también ser demostrada por inducción de una manera muy directa.

Las ecuaciones (7) y (9) se pueden combinar fácilmente y así encontrar la expresión cerrada para \(f_n\), como sigue. De dichas ecuaciones se deducen respectivamente (con ajuste del índice \(n\) en la segunda)

\[ \varphi f_n = \varphi^n - f_{n-1} \] \[ \varphi f_{n-1} = f_n + (-1)^n \varphi^{-n + 1}. \]

Si ahora aquí se reemplaza la segunda en la primera,

\[ \varphi f_n = \varphi^n - \frac{f_n}{\varphi} + (-1)^n\varphi^{-n} \]

Y al despejar \(f_n,\)

\[ f_n = \frac{\varphi^n -(-1)^n\varphi^{-n}}{2\varphi - 1}, \]

que también puede escribirse como (ver demostración al final)

\[ f_n = \frac{\varphi^n - (1-\varphi)^n}{\sqrt{5}}, \]

y si se utiliza la relación \( \hat{\varphi} = 1 - \varphi,\)

\[ f_n = \frac{\varphi^n - \hat{\varphi}^n}{\sqrt{5}},\]

llamada por algunos la fórmula de Lucas (ver Wikipedia), aunque Graham et al.(1989) la atribuyen a Euler.

A continuación mostramos la explicación del paso final:

1 REFERENCIAS

Graham, Ronald L. et al. Concrete mathematics. Addison Wesley, Reading (Mas.),USA. 1990.

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