La proporción áurea

Publicado en April 11, 2018

Introducción

Problema propuesto y resuelto por Euclides: cortar un segmento de línea en dos partes de modo que la proporción entre la longitud total y la parte mayor sea igual a la proporción entre la parte mayor y la parte menor.

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b a

En términos aritméticos,

\[ \frac{a+b}{a} = \frac{a}{b}. \]

Si se toma \(\frac{a}{b}=\varphi\), llamada la proporción áurea, se trata de un número real que ha jugado en la historia de la arquitectura y del arte un papel muy importante al proporcionar un criterio para “definir” patrones de belleza. En la naturaleza se suele presentar esta proporción en innumerables circunstancias y forma parte de muchos esquemas geométricos que se suelen encontrar por doquier (ver la construcción de la espiral de Arquímedes).

Al dividir el numerador y el denominador de la izquierda por \(b\) en la expresión anterior, se encuentra

\[ \frac{\varphi + 1}{\varphi} = \varphi,\quad (1) \]

o sea que se cumple

\[ \varphi^2 - \varphi - 1 = 0, \]

cuyas raíces se pueden encontrar resolviendo la ecuación de segundo grado. La raíz positiva es

\[ \varphi = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{5}) = 1,61803398875, \]

y la raíz negativa

\[ \hat{\varphi} = \frac{1}{2}(1-\sqrt{5}) = -0,61803398875, \]

Algunas (de las infinitas) propiedades de \(\varphi\)

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Hemos dibujado en un árbol de deducciones la forma como se relacionan, o se deducen unas de otras, las propiedades de la proporción áurea. Las flechas indican consecuencia, y se puede observar que algunas propiedades se deducen a partir de una o más de las otras.

La proporción áurea como una fracción continua

A partir de la ecuación (1) se obtiene

\[ \varphi = 1 + \frac{1}{\varphi},\quad (\textrm{propiedad 3}) \quad (2), \]

pero aquí el denominador de la fracción se puede reemplazar por el valor de \(\varphi\) que proporciona la misma relación

\[ \varphi = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\varphi}}, \]

Si se repite el proceso indefinidamente, se obtiene la fracción continua

\[ \varphi = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\dots}}}}, \]

Al calcular etapa por etapa de esta construcción, esperamos obtener valores cada vez más aproximados de \(\varphi\). Inicialmente no podemos asignar un valor a \(\varphi\) en el miembro derecho de la ecuación (2), de modo que hacemos la primera aproximación \(\varphi_1 = 1\) . Este valor se introduce en una segunda iteración para obtener \(\varphi_2 = 1 + \frac{1}{1} = 2\). Las siguientes iteraciones producen (usando siempre la misma propiedad 3):

\[ \varphi_3 = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1,5, \]

\[ \varphi_4 = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3} = 1,66, \]

\[ \varphi_5 = 1 + \frac{3}{5} = \frac{8}{5} = 1,6, \]

\[ \varphi_6 = 1 + \frac{5}{8} = \frac{13}{8} = 1,625, \]

y así en adelante de la misma manera, probablemente con acercamiento al valor de \(\varphi\) encontrado al comienzo (ver gráfica de \(\varphi_j\) en función de \(j\)).

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De modo que se tiene la sucesión de fracciones

\[ \lbrace \varphi_j \rbrace = \lbrace \frac{1}{1}, \frac{2}{1}, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}, \frac{8}{5}, \dots \rbrace \]

donde se observa que cada numerador es la suma del numerador y el denominador de la fracción anterior y el nuevo denominador es igual al anterior numerador.

Los denominadores corresponden la secuencia

\[ \lbrace f_n \rbrace = \lbrace 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \dots \rbrace \]

que se puede expresar analíticamente así (llamaremos a esto (3)):

\[ f_1 = 1; \\ f_2 = 1;\\f_{n+1} = f_n + f_{n-1}\quad(n > 1). \]

En otras palabras, cada término siguiente de la sucesión se calcula como la suma de los dos anteriores. Por supuesto, es necesario tener algún par de términos para dar comienzo en adelante a la construcción de los demás; por eso se inicia con \(f_1\) y \(f_2\) explícitos.

Nota: a veces se suele iniciar la secuencia con \(f_0 = 1\) y \(f_1 = 1\), pero la forma como lo hemos hecho resulta de una manera natural.

Esta es la muy famosa sucesión de Fibonacci.

Cada término de la secuencia de las \(\varphi_j\) se puede escribir

\[\varphi_j = \frac{f_{j+1}}{f_j}.\quad (4) \]

Esperamos que el límite de \(\varphi_j\) cuando j tiende a infinito sea precisamente \(\varphi\), como se observó más arriba.

Cálculo de \(\varphi\) como límite de la fracción continua

Para verificar el resultado que acabamos de enunciar, escribimos de la ecuación (4) usando la relación de recurrencia (3) o secuencia de Fibonacci: \( \varphi_j = \frac{f_{j+1}}{f_j} = \frac{f_j + f_{j-1}}{f_j} = 1 + \frac{f_{j-1}}{f_j} = 1 + \frac{1}{\frac{f_j}{f_{j-1}}} \)

Queremos calcular

\[ L = \lim_{j \to \infty} \varphi_j = \lim_{j \to \infty} \frac{f_{j+1}}{f_j}. \]

donde es claro que también se puede reemplazar \(j\) por \(j-1\), sin afectar el límite, puesto que ambos números tienden a infinito de igual manera

\[ \frac{ \lim_{j \to \infty} f_j }{f_{j-1}} = L, \]

de modo que se genera la igualdad

\[ \lim_{j \to \infty} \frac{f_{j+1}}{f_j} = 1 + \frac{1}{\lim_{j \to \infty} \frac{f_{j+1}}{f_j}}, \]

y se obtiene

\[ L = 1 + \frac{1}{L}, \]

que es la misma igualdad (2) que satisface la proporción áurea \(\varphi\). Concluímos que

\[ L = \lim_{j \to \infty} \varphi_j = \varphi \quad (5) \]

con lo cual se confirma la suposición hecha.

Jaime Hernández Gutiérrez

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Etiquetas: proporción áurea, proporción áurea, fibonacci