Relación de transformación entre figuras semejantes

Publicado en November 08, 2017

Vamos a enunciar dos principios generales que juegan un papel muy importante en la geometría para el cálculo de áreas y volúmenes.

Cuando dos figuras planas o sólidas tienen la misma forma aunque sus tamaños sean diferentes, se dice que son semejantes, y entonces se puede establecer una relación entre las respectivas áreas y entre los respectivos volúmenes.

  1. Relación entre áreas de figuras planas. Cualquier figura plana puede ser llevada hasta una que tenga la misma forma pero en otra escala, multiplicando sus dimensiones por el mismo factor.

    Por ejemplo, se puede multiplicar cada dimensión (ancho y alto) por el factor 2, como en el conocido método de la cuadrícula utilizada para ampliar o reducir un dibujo. La pregunta es cómo se compara el área de la nueva figura con la original.

    Examinemos la cuadrícula que nos ha servido de guía para la construcción de la nueva figura. Los cuadros iniciales son de 1 unidad x 1 unidad, y en el ejemplo son ahora de 2 unidades x 2 unidades. De esta manera, cada cuadro que tenía un área de 1 (unidad)2, ahora tiene 4 (unidades)2.

    Ahora, los cuadros se corresponden uno a uno entre las dos figuras (tanto los enteros como las fracciones), es decir, ambas figuras tienen el mismo número de cuadros, y cada cuadro nuevo es 4 veces mayor, así la nueva figura tiene 4 veces el área de la original.

    Si el factor de multiplicación hubiera sido cualquier otro, de valor \(a\), el área de cada cuadro de la escala nueva se habría multiplicado por \(a^{2}\), y concluímos:

    Al multiplicar cada dimensión de una figura plana por un factor \(a\) el área de la figura se multiplica por \(a^{2}\), sin importar su forma.

    Cuando una dimensión lineal de una figura es \(a\) veces mayor que la correspondiente dimensión de una figura semejante, el área de la primera figura es \(a^{2}\) veces el área de la segunda.

  2. El razonamiento anterior se puede extender de manera inmediata a las figuras sólidas reemplazando los cuadrados por cubos de 1 unidad x 1 unidad x 1 unidad, para generar el siguiente resultado:

    Al multiplicar cada dimensión de una figura sólida por un factor \(a\) el volumen de la figura se multiplica por \(a^{3}\), sin importar su forma.

El área de cualquier figura plana puede obtenerse, como se aprecia en la anterior figura, aproximándola por medio de cuadrados (o rectángulos) a los que se suman otras regiones que es posible aproximar por medio de cuadrados más pequeños o por medio de triángulos. El área de cada una de estas figuras se expresa por una fórmula que tiene el aspecto 

$$ area = constante \times longitud 1 \times longitud 2. $$

En el caso del rectángulo, por ejemplo,

$$ area = longitud 1 \times longitud 2. $$

por lo cual la constante es 1. En el caso del cuadrado, además, las dos longitudes son iguales.

En el caso de cualquier triángulo, la constante vale \(\frac{1}{2}\), y las dos longitudes en general son diferentes.

Si se piensa en un objeto tridimensional cualquiera, con una forma que puede ser caprichosa, su volumen siempre podrá aproximarse sumando el volumen de distintas porciones que se asemejen a cuerpos sólidos con volúmenes conocidos(es decir, fácilmente calculables): cubos, paralelepípedos, esferas, conos, prismas, pirámides, y otros.

El volumen de cada una de esas porciones conocidas se expresa por medio de una fórmula en la que están involucradas tres medidas lineales o un área y una medida lineal. Es decir, de la forma 

$$ volumen = constante \times longitud1 \times longitud2 \times longitud3 $$

o

$$ volumen = constante \times longitud \times área $$

La constante en estas expresiones siempre es la misma para cada figura. Por ejemplo, para la esfera siempre es

$$ V = \frac{4}{3}\pi \times R \times R \times R. $$

Estas consideraciones adicionales refuerzan la idea de que al crear figuras semejantes a una que se ha dado inicialmente, cada una de las longitudes involucradas en la fórmula que calcula las áreas o los volúmenes se obtiene a partir de la original multiplicándola por un factor de escala, puesto que éste es lo único que cambia. El factor de escala aparecerá dos veces en el cálculo de cada área y tres veces en el de cada volumen.

En resumen:

El factor de escala que modifica una figura aparecerá elevado al cuadrado en el resultado si se trata de un área y elevado al cubo si se trata de un volumen.

Para captar mejor la importancia de estos conceptos, tomemos en primer lugar un cubo de lado uno (por ejemplo, en centímetros) cuyo volumen es obviamente \(V_1 = 1cm^3\) y cuya área de las superficies envolventes es \(A_1 = 6cm^2\), (son 6 caras de \(1cm^2\) cada una) como se ilustra en la figura. La relación entre el área total y el volumen es

$$ \frac{A_1}{V_1} = \frac{6}{1} = 6cm^{-1}.$$

Ahora, si se corta el cubo en dos figuras iguales entre sí dividiendo cuatro de las caras por la mitad, el volumen total no ha cambiado, pero el área se ha incrementado con la presencia de dos caras internas adicionales que suman 2cm2.

En la nueva situación, \(V_2 = 1cm^3\) y \(A_2 = 8cm^2\). La nueva relación entre el área y el volumen se ha incrementado por el solo hecho de reducir el tamaño de las figuras (aunque no lo hemos hecho de manera uniforme), porque:

$$ \frac{A_2}{V_2} = \frac{8}{1} = 8cm^{-1}. $$

Es un hecho general que sobre la base de nuestras conclusiones anteriores podemos comprender:

Si una figura geométrica se multiplica uniformemente  por un factor de escala que la disminuye (\(a < 1\)) entonces la relación entre área y volumen que inicialmente es

$$ R_1 = \frac{A_1}{V_1}, $$

al hacer el cambio se convierte en

$$ R_2 = \frac{a^2A_1}{a^3V_1} = \frac{R_1}{a}, $$

Y como \(a < 1\), resulta que

$$ R_2 > R_1, $$

Es decir, en general, al disminuir el tamaño de una figura geométrica la relación entre el área y el volumen de la misma aumenta.

Este simple hecho tiene grandes implicaciones en las posibilidades físicas de los sistemas, y en particular en el funcionamiento de la vida, como lo ilustran los siguientes casos:

  • Una célula que se alimenta a través de su membrana celular puede crecer sólo hasta cuando el área de la membrana se hace muy pequeña con relación al volumen de materia viva que debe sustentar (porque el tamaño total aumenta). Si la célula no se divide (como hicimos con el cubo), no podrá continuar creciendo, y éste es precisamente el camino que los organismos unicelulares escogen y es una probable explicación del origen de la reproducción por mitosis.
  • Un grupo de pingüinos (o de personas) evita la congelación de sus miembros al formar un grupo compacto cuya área exterior conjunta es pequeña con respecto al volumen invariable de todos ellos. Así se minimiza la pérdida de calor, que es proporcional al área expuesta al medio ambiente. El área de cada individuo por unidad de volumen es inmensamente más grande que la de un grupo numeroso y eso lo hace más vulnerable.
  • Los animales de sangre caliente gastan gran cantidad de energía en mantener su temperatura interna en oposición a la pérdida de calor por la piel. Como consecuencia de que los animales pequeños pierden mucha más energía por unidad de volumen que los grandes, existe un límite por debajo del cual no puede disminuir el tamaño del animal. El mamífero más pequeño, que es la musaraña, debe comer permanentemente pera no morir de hambre, lo cual la convierte en el mayor depredador gramo por gramo.
  • No es posible encontrar animales gigantescos que tengan las proporciones de un insecto. Las patas de una hormiga son extremadamente delgadas en comparación con las de un caballo o un elefante, porque al disminuir el volumen del animal la proporción del área de los miembros necesarios para sustentar el peso proporcionado a su volumen es mucho menor (la relación área/volumen es muy grande en esa escala).
  • Muchos casos más de la vida real son muestra de la importancia de esta ley matemática.

Jaime Hernández Gutiérrez

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Etiquetas: pirámides, área, figuras semejantes