Suma de los primeros n cuadrados

Publicado en March 05, 2018

Se pide averiguar el valor, que llamaremos \(S_n^{(2)}\), de la suma de los primeros \(n\) números naturales en función de \(n\). Es el número 2 entre paréntesis de la parte superior el que indica que se trata de los cuadrados. En otro lugar estudiaremos el caso de las demás potencias naturales.

En otras palabras, queremos encontrar una fórmula en la que, si se conoce \(n\), se pueda calcular  el valor de

$$ S_n^{(2)} = 1^2 + 2^2 + 3^2 +\dots + n^2 \quad (1) $$

sin que sea necesario sumar cada uno de los términos en forma explícita.

Una representación geométrica puede ser de gran ayuda. Pensemos en calcular el número de puntos que hay, dispuestos en cuadrados de manera sucesiva como se muestra a continuación para \(n = 5\).

Se puede hacer la suma para los cuadrados de puntos, por ejemplo, calculando el resultado de sumar cada fila de ellos. Al comenzar desde la parte inferior, la primera es la suma de los naturales desde 1 hasta 5 (en este ejemplo); la segunda suma comienza en 2, la tercera en 3 y así sucesivamente. Después se pueden sumar entre sí los resultados de las diferentes filas para obtener el valor pedido al comienzo.

Es posible generalizar diciendo que la suma de los puntos de la fila número \(f\)  comienza con este número y termina en \(n\):

$$ s_f = f + (f + 1) + (f + 2) + \dots + n.\quad (2) $$

En forma abreviada,

$$ s_f = \sum_{r=f}^n r.\quad (3) $$

Es decir, el índice \(r\) asume los valores desde \(f\) hasta \(n\) de uno en uno, y todos se van sumando. Las ecuaciones (2) y (3) dicen exactamente lo mismo y esta expresión corresponde a lo que se llama la suma de una progresión aritmética.

De esta manera, la suma de los primeros \(n\) cuadrados se convierte en

$$ S_n ^{(2)} = s_1 + s_2 + s_3 + \dots + s_n,\quad (4) $$

o, en forma abreviada,

$$ S_n^{(2)} = \sum_{f=1}^n s_f.\quad (5) $$

El cálculo de  la suma de la progresión aritmética (3) se estudia en los cursos básicos, y es fácil ver que es igual a la siguiente expresión (Gauss la dedujo cuando era un escolar de menos de diez años, aunque ésta ya existía en el repertorio matemático):

$$ (\textrm{primer término} + \textrm{último término}) \times (\frac{\textrm{número de términos}}{2}), $$

que, en el caso de de la ecuación(3), se convierte en

$$ s_f = \frac{(n+f)(n-f+1)}{2}, $$

o, lo que es lo mismo,

$$ s_f = \frac{1}{2}(n^2 - f^2 + n + f)\quad (6) $$

Si ahora se reemplaza (6) en (5) y se separa la suma en sus diferentes partes, resulta

$$ S_n^{(2)} = \frac{1}{2}(\sum_{f=1}^n n^2 - \sum_{f=1}^n f^2 + \sum_{f=1}^n n + \sum_{f=1}^n f).\quad (7) $$

Ahora, es fácil ver que, como \(n\) es un número fijo,

$$ \sum_{f=1}^n n^2 = n^3,\quad (8) $$

porque hay que sumar \(n\) veces \(n^2\) , y que

$$ \sum_{f=1}^n n = n^2.\quad (9) $$

Además,

$$ \sum_{f=1}^n f = \frac{(n+1)n}{2}\quad  (10)  $$

porque es la suma de una progresión aritmética. Por último,

$$ \sum_{f=1}^n f^2 = S_n^{(2)}\quad (11)  $$

ya que es la misma fórmula (1), es decir, coincide con la cantidad buscada.

Si se reemplazan (8), (9),(10) y (11) en la ecuación (7) y se traslada  \(\frac{-1}{2} S_n^2 \)  al miembro izquierdo con el signo cambiado, se puede despejar finalmente la suma incógnita

$$ S_n^{(2)} = \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6}. $$

Si la aplicamos a para el caso concreto  presentado al comienzo, se obtiene

$$ S_5^{(2)} = 55, $$

como era de esperarse.

Jaime Hernández Gutiérrez

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Etiquetas: sumatoria, n cuadrados, matemáticas