Suma de una serie infinita

Publicado en August 11, 2018

Aunque al principio trabajaremos con un cuadrado, esto no es esencial, y sólo se utiliza para facilitar la representación geométrica de lo que sigue.

Queremos ver en una forma elemental cómo surge la idea de serie infinita y de qué manera es posible calcular el valor de una (llamada serie geométrica) que es bastante importante porque aparece en muchas circunstancias.

  1. Hacemos la partición de un cuadrado en 4 porciones iguales:

    1-serie.png

    Cada porción es \(\frac{1}{4}\) del área total, a la cual le asignamos el valor de una unidad.

  2. Separamos ahora la unidad en tres cuartas partes + una cuarta parte:

    2-serie.png

  3. Dividimos la porción \(\frac{1}{4}\) en 4 partes iguales. Cada una tiene tamaño \(\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4} = \frac{1}{4^2}\).

    3-serie.png

  4. Separamos la última porción en \(\frac{3}{16} + \frac{1}{16}\):

    4-serie.png

  5. Dividamos la porción de tamaño \(\frac{1}{16}\) en 4 partes, cada una de tamaño \(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{4^3}\).
  6. Continuemos el proceso indefinidamente hasta cuando se pueda obtener la última porción tan pequeña como se quiera.

Observando el proceso en su conjunto, podemos entonces escribir

\[ 1 = 3(\frac{1}{4} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{4^3} + \ldots + \frac{1}{4^k}) + \frac{1}{4^k} \].

Los puntos suspensivos indican lo expresado en el paso número 6. El exponente \(k\) representa el número de veces que se ha realizado la subdivisión, y \(\frac{1}{4^k}\) es el tamaño de la porción final obtenida, tamaño que, como se puede ver, disminuye hacia cero a medida que \(k\) se incrementa. El factor común \(3\) resulta de que, cada vez, se toman \(3+1\) particiones de la porción más pequeña que está al final.

Si se dividen por \(3\) ambos miembros de la igualdad, se obtiene el resultado

\[\frac{1}{3} = (\frac{1}{4} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{4^3} + \ldots + \frac{1}{4^k}) + \frac{1}{3 \cdot 4^k}.\]

Esta se suele escribir como sigue, si se pasa el último término a la izquierda y luego se intercambian los dos lados:

\[ \sum_{n=1}^{k} \frac{1}{4^n} = \frac{1}{3} - \frac{1}{3 \cdot 4^k} \]

Cuando \(k\) crece indefinidamente, el término final tiende a cero, y entonces obtenemos.

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4^n} = \frac{1}{3} \]

Ahora, en lugar de 4, se pude escoger cualquier número entero M para hacer cada partición, con lo cual, como en cada paso se reserva una de ellas para volverla a subdividir, el resultado de la suma es \(\frac{1}{1 - M}\) y el término al final del paso número \(k\) vale \(\frac{1}{(M-1)\cdot M^k}\)

\[ \sum_{n=1}^k \frac{1}{M^n} = \frac{1}{M-1} - \frac{1}{(1-M) M^k} \]

lo cual lleva, con las condiciones que aclararemos enseguida, al resultado

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{M^n} = \frac{1}{M-1}\]

Para comprender lo que acabamos de decir, es útil una demostración más precisa.

Partimos de la siguiente identidad autoevidente:

\[ 1 \equiv \frac{a+1}{a+1}. \]

válida para cualquier número \(a \ne -1\). Si el \(1\) del numerador se reemplaza por su igual \(\frac{a+1}{a+1}\), queda

\[ 1 \equiv \frac{a + \frac{a+1}{a+1}}{a+1} = \frac{a}{a+1} + \frac{a+1}{(a+1)^2} \]

Al repetir el proceso con el \(1\) del último numerador,

\[ 1 \equiv \frac{a}{a+1} + \frac{a+\frac{a+1}{a+1}}{(a+1)^2} \]

\[ = \frac{a}{a+1} + \frac{a}{(a+1)^2} + \frac{a+1}{(a+1)^3},\]

y así sucesivamente, para obtener, después de dividir ambos miembros por a en el paso número \(k\):

\[ \frac{1}{a} = \frac{1}{a+1} + \frac{1}{(a+1)^2} + \frac{1}{(a+1)^3} + \ldots + \frac{1}{(a+1)^k} + \frac{1}{a(a+1)^k}. \]

Si ahora reemplazamos \(a+1 = M\),

\[\frac{1}{M-1} = \frac{1}{M} + \frac{1}{M^2} + \frac{1}{M^3} + \ldots + \frac{1}{M^k} + \frac{1}{(M-1)M^k},\]

que, como hicimos antes, puede escribirse

\[\frac{1}{M-1} = \sum_{n=1}^k \frac{1}{M^n} + \frac{1}{(M-1)M^k} \].

Para que el último término tienda a cero a medida que aumenta \(k\), se requiere que \(M>1\), pero puesto que la identidad utilizada arriba es válida para cualquier valor de \(a\), \(M\) no tiene que ser necesariamente entero.

Jaime Hernández Gutiérrez

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Etiquetas: suma infinita, serie geométrica