Volumen de pirámides y conos

Publicado en November 20, 2017

Una pirámide se construye a partir de un polígono plano y seleccionando un punto exterior a dicho plano (que se llama el vértice de la pirámide), hacia donde se trazan, desde los vértices del polígono, líneas rectas para formar triángulos que configuran las caras (superficie lateral), las cuales a su vez definen en su interior un sólido. El polígono es llamado la base, y la altura es la distancia medida perpendicularmente desde el plano de la base hasta el vértice de la pirámide.

El volumen sólido contenido por la pirámide puede aproximarse por una sucesión escalonada de figuras planas, cada una semejante al polígono de la base, de modo que la diferencia entre ellas es sólo de escala.

El cono es en todo semejante a la pirámide, con la única diferencia de que la base del cono es una figura cerrada curvilínea dibujada sobre un plano, de modo que la superficie lateral ya no está constituída por triángulos, sino por formas curvas.

El volumen del cono puede también ser aproximado por medio de láminas escalonadas, en cantidad suficiente para obtener la precisión que se requiera.

Esta forma de calcular el volumen de un sólido, permite ver que mientras la altura del cono o de la pirámide no sea cambiada, los "escalones" pueden ser desplazados horizontalmente sin afectar el resultado, suponiendo, por supuesto que la forma de la base y sus réplicas no sean modificadas. Esto significa que el volumen de estas figuras sólidas sólo depende de la altura y del área de la base. Este principio fue enunciado por Cavalieri (1635), aunque en otra parte hemos podido ver que el argumento fue utilizado seguramente por primera vez por Arquímedes. El área de cada una de las figuras semejantes que se construyen hasta el vértice se puede obtener estableciendo una proporción con respecto al área de la base.

Podemos resumir que el volumen de una pirámide y el de un cono son iguales si tienen la misma área en la base y la misma altura, cualquiera que sea la forma de la base. Por otra parte, en la sección Relación de transformación entre áreas y entre volúmenes, encontramos que las áreas de figuras planas que son semejantes se relacionan como el cuadrado de la relación entre dimensiones lineales correspondientes.

Así, la forma de la base del cono no nos interesa y podemos guiarnos por una sola dimensión lineal de ella para todos los cálculos. Tampoco interesa la posición horizontal del vértice de la figura, pues lo único que importa es su altura sobre el plano de la base. Esto significa que, mientras el área de la base y la altura no se modifiquen, el cálculo se puede hacer con una figura completamente simétrica, donde todo es más fácil.

Tomemos un cono cuya base puede ser circular de área A y cuyo radio sea r. Vamos a aproximar este cono por sucesivas figuras escalonadas de \(2, 3, 4, 5, \ldots n\) escalones de alturas respectivas \(\frac{h}{2}, \frac{h}{3}, \frac{h}{4}, \frac{h}{5}, \ldots,\frac{h}{n} \).

Como la altura de los escalones de cada figura es uniforme, a medida que se desciende por ellos el radio de cada uno se va haciendo mayor en un factor igual al número de escalones que se descienden. Así, en la primera figura, que tiene dos escalones cada uno de altura \(\frac{h}{2}\), el más alto tiene radio \(\frac{r}{2}\) y el más bajo tiene radio \(r\); en la segunda figura, con escalones de altura \(\frac{h}{3}\), el primer escalón de arriba tiene radio \(\frac{r}{3}\), el siguiente debajo tiene radio \(2\frac{r}{3}\) y el más bajo de ellos tiene radio \(3\frac{r}{3}\) ; y así sucesivamente.

La \(n-ésima\) figura tendrá en la cúspide un radio \(\frac{r}{n}\), debajo \(2\frac{r}{n}\), y así, pasando por \((n-2)\frac{r}{n}\) y \((n-1)\frac{r}{n}\) , hasta llegar al radio en la base. Podemos calcular el volumen de cada una de las figuras, recordando que el área \(A\) de cada escalón de radio \(r\) se relaciona con la de la base así:

$$ A_{j} = (\frac{r_{j}}{r})^2 A $$
y que el volumen de cada escalón es su altura multiplicada por el área de su base:

$$ V_{escalón} = altura \times A_j $$
La primera figura, con dos escalones de altura \(\frac{h}{2}\) y respectivos radios \(\frac{r}{2}\) y \(r,\) tiene volumen total

$$ V_2 = \frac{h}{2}(\frac{1}{4} + \frac{4}{4})A. $$

La segunda figura ( 3 escalones de atura \(\frac{h}{3}\) con radios \(\frac{r}{3}\), \(2\frac{r}{3}\)y \(3\frac{r}{3}\)) tiene volumen

$$ V_3 = \frac{h}{3}(\frac{1}{9} + \frac{4}{9} + \frac{9}{9})A. $$

Siguiendo así,

$$ V_4 = \frac{h}{4}(\frac{1}{16} + \frac{4}{16} + \frac{9}{16} + \frac{16}{16})A. $$

Es posible generalizar la fórmula de la manera siguiente:

$$ V_n = \frac{h}{n}(\frac{1}{n^2} + \frac{4}{n^2} + \frac{9}{n^2} + \ldots + \frac{n^2}{n^2})A. $$

Si se factoriza el denominador común,

$$ V_n = \frac{h}{n^3}(1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2)A. $$

El término entre paréntesis se puede calcular según una conocida fórmula para la suma de los primeros cuadrados (que deduciremos en otra entrada), y el volumen de la n-ésima figura queda

$$ V_n = \frac{h}{n^3}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}A. $$

Al desarrollar el producto del numerador y simplificar, se obtiene, finalmente,

$$ V_n = h(\frac{1}{3} + \frac{1}{2n} + \frac{1}{6n^2})A. $$

Observemos que si el número de escalones del cono se aumenta lo suficiente, los términos que contienen n en el denominador se van haciendo despreciables frente al primer término que permanece constante (piense, por ejemplo qué pasa cuando n = 1 000 000), y entonces el valor del volumen que resulta es (ya no para la figura escalonada sino para el cono que la limita):

$$ V = \frac{h}{3}A. $$

Este es el volumen del cono que Arquímedes calculó de otra manera. Según lo expresado en el texto anterior, éste también es el volumen de una pirámide cualquiera.

Jaime Hernández Gutiérrez

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Etiquetas: volúmen, conos, pirámides